Проект этимологического словаря: арена, багно, баламут, баня

4 арена
из лат. arena "песок; площадка, посыпанная песком", из неизвестного источника. Скорее всего, лат. arena происходит из др.-рус. рѣнь "отмель", поскольку речные отмели представляют собой песчаные наносы. В пользу древнего присутствия славян на севере Италии говорит и возможность др.-рус. этимологии итал. гидронима Рено и итал. топонима Болонья (город на р. Рено). См. Рено, Рейн, Болонья, ткж. лава.

5 багно (баг-н-о)
"грязь, болотистое место", курск., воронежск., укр. багно "болото", блр. багно; в остальном известно только зап.-слав. языкам: чеш. bahno, польск. bagno, в.-луж. bahno, bahmo, н.-луж. bagno, полаб. bógnö (Фасмер).
Суффиксальное производное от праморфемы [baγ/boγ] (с расщеплением γ > {g; h}), от которой, помимо перечисленных слов, багула "багульник", в.-луж. bagi "болота" и родств. ирл. bog "мягкий, влажный". Суффикс "-н-", как в говно, бревно, толокно, окно и др.
Из ['baγno] "болото" получается итал. bagno ['baɲɲo] "купальня, баня", подобно итал. pugno ['puɲɲo] – из лат. pugnus ['puŋnus] "кулак". Смещение смысла "болото" > "баня" есть также в кальке др.-рус. *бала "болото" > *баљня "купальня" (см. баня). Можно далее предполагать связь морфем [baγ/boγ] (в рус. багно "болото", ирл. bog "влажный") и [bal/bol] (в др.-рус. болото и лит. bala "болото"), подобное связи лат. stagnum ['staŋnum] "стойкий (сплав)" и др.-норв. stal "(стойкая) сталь".

3 баламут
скорее всего, исконнославянское от др.-рус. *бала "болото" и мутить. Баламутить – "возиться в грязной воде, мутить воду", перен. Вряд ли через посредство балакать / балаболить "болтать" в сочетании с мутить, в согласии с Фасмером. Фасмер также сомневается в заимствовании из монг. баламут "своенравный", по-видимому, из-за несоответствия значений.

4 баня (ба(й)-н-я)
исконнославянское, славянские аналоги: укр. баня "баня; сосуд, купол", банька "медицинская банка", ст.-слав. баньскъ "баня", сербск. ба̏ња "баня", болг. баням "мою", словен. bȃnja "ванна", чеш. baně ж. "сосуд, кувшин", baňka "медицинская банка", польск. bania "пузатый сосуд", bańka "медицинская банка", в.-луж. bańka "все округлое; кувшин", н.-луж. banja "кувшин". Значение "сосуд" считается результатом развития по схеме "баня" > "ванна" > "сосуд" (Фасмер).
Суффиксальное производное от праморфемы [baљ/boљ], подобное мель-н-я, бой-н-я. Расщепление фонемы [љ] привело к фонетическому разнообразию исходной праморфемы в родственных словах:
љ > j - сев. рус. диал. бай-на, бай-ня (Даль), баенка ['baj-enka]; сюда же др.-рус., укр. баяти ['baj-ati] "рассказывать, колдовать" (от баѩти ['baj-ęti]);
љ > l' > l – др.-рус. бол-ото, лит. bal-a "болото", рус. бал-ка "овраг", др.-греч. βαλανεῖον [bal-anion] "баня, купальня" > лат. bal-neum "ванна (купальня)"; сюда же производные с семантикой говорливости: бол-тун (с суф. "-т-", как в пастух) , бал-амут "мутящий воду (грязную)", бал-абол "болтающий грязную воду" и т.п.;
љ > γ' > g - рус. диал. баг-но "болото", баг-ула "багульник" (родство под сомнением);
љ > 0 (ассимиляция [љ] и [њ]) - рус. ба-ня, итал. ba-gno ['baɲɲo] "баня, ванна (купальня)".

Сближение слов со значением "болото" и слов со значением "купальня, баня" (ср. польск. banior "болото" и bania "пузатый сосуд", рус. баня; рус. диал. багно "болото" и итал. bagno ['baɲɲo] "баня, купальня"; др.-рус. бала, лит. bala "болото" и др.-греч. βαλανεῖον [balanion] "баня, купальня") может быть объяснено двояко с привлечением семантических соображений.
С одной стороны, вокруг купален и бань сточные воды создают грязь, отношения "купальня" ~ "смываемая грязь" ~ "болото" аналогичны отношениям "мойка" ~ "смывание" (др.-прусск. aumûsnan, вин. ед., Фасмер) ~ "грязные стоки" (авест. mūϑrǝm "нечистота, грязь", др.-инд. mū́tram "моча", рус. муть), то есть *баљня – болотящая, как мытьё - мутящее, отсюда связь с баламутить "мутить воду"; до сих пор говорят разлившему воду: "что ты тут болото устроил?"
С другой стороны, бани и болота – места, связанные с языческими духами, отсюда связь с др.-рус., укр. баяти "колдовать"; это толкование может быть связано с первым.

Таким образом, рус.-цслав. баня, и сев. рус. диал. байня, байна "баня" являются результатом ассимиляции [љ] в др.-рус. *баљня "заболачивающая, нечистая". Заимствование из народнолат. *bāneum (Фасмер) не объясняет [j] (й) в диал. словах.
Далее др.-рус. *бала "болото", лит. bala "болото" и др.-греч. βαλανεῖον [balanion] "баня, купальня" м.б. родственными др.-греч. βάλλω ['ballo] "падать, валить, погружаться, обрызгивать, наливать и т.п.".
Новогреч. μπάνειο ['banio] "баня" заимствовано из слав. или итал.