Призрак числа Фейгенбаума

Великую теорему Ферма пытались доказать многие математики (и не только они) в течение более трёхсот лет. При этом теорема Ферма окончательно была доказана только в 1995 году Эндрю Уайлсом (род. 1953, английский и американский математик). Доказательство Уайлса (после 7 лет самой напряжённой, самозабвенной работы) занимает около 200 страниц, при этом во всей его полноте понимают не более 10% специалистов по теории чисел – настолько сложна современная математика. В 1985 – 1988 годах в математике появилась так называемая АВС-гипотеза (достоверно не доказанная) – это очень мощный инструмент, одно из самых важных утверждений в теории чисел последних лет. Из АВС-гипотезы можно вывести множество фундаментальных результатов (по теории чисел, алгебраической геометрии и т.д.), и даже пресловутая Великая теорема Ферма теперь доказывается буквально… в три строчки! В августе 2012 года японский математик Синити Мотидзуки опубликовал серию из четырех работ (всего более 500 страниц текста), в которых, в частности, якобы доказывает знаменитую ABC-гипотезу. При этом явных «дырок» в доказательстве Мотидзуки другие математики пока не нашли, а более детальная проверка может занять несколько лет. Более подробно про АВС-гипотезу можно прочитать по ссылке: http://lenta.ru/articles/2012/09/13/abc/.
В формулировке АВС-гипотезы используется понятие радикал натурального числа N (не путать с корнем квадратным из числа N). В данном случае радикалом числа rad(N) называется произведение всех его простых делителей (то есть простых чисел: 1, 2, 3, 5, 7, 11, …. – все они делятся только на единицу и на самих себя). Например, у числа N = 12 будет такой радикал: rad(12) = 1*2*3 = 6 (а все целые делители числа 12 следующие: 1, 2, 3, 4, 6, 12). В одной из своих формулировок АВС-гипотеза звучит так: для любого действительного числа D (большего единицы) существует не более конечного числа троек натуральных чисел (А, В, С) таких, что для них выполнены одновременно три условия:
1). А + В = С;
2). А, В и С взаимно простые числа (они не имеют общих делителей, отличных от единицы);
3). Число С больше, чем [rad(А)*rad(B)*rad(C)]^D.
Например: число А = 1 (имеет делитель 1), число В = 8 (имеет делители: 1, 2, 4, 8), число С = 9 (имеет делители 1, 3, 9), при этом 1 + 8 = 9 и rad(1) = 1, rad(8) = 2, rad(9) = 3, значит, rad(1)*rad(8)*rad(9) = 1*2*3 = 6, а также число 9 больше, чем 6^1,226 (здесь D = 1,226). Однако, если взять случайным образом тройку чисел А, В и С, для которых выполняются условия 1) и 2), то почти всегда НЕ будет выполняться условие 3), поэтому тройки взаимно простых чисел, для которых C больше, чем rad(А)*rad(B)*rad(C) получили название исключительных (их в некотором смысле меньше). Численный эксперимент показывает, что среди всех подходящих троек, у которых С менее 50000, исключительных троек всего 276, однако, вместе с тем, в бесконечном ряду натуральных чисел исключительных троек бесконечно много.
Учитываю исключительную важность понятия радикал числа N (в силу фундаментального значения АВС-гипотезы), далее я постараюсь пристальней рассмотреть всё, что касается радикала (в рамках моей теории – виртуальной космологии).
Итак, повторяю, что радикал (rad) числа N – это произведение всех простых делителей числа N. Например, все целые делители числа N = 24 такие: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а простыми числами (то есть простыми делителями) среди них являются только числа 1, 2 и 3, поэтому радикал числа N = 24 будет следующим: rad(24) = 1*2*3 = 6. Здесь надо особо подчеркнуть, что единицу (число N = 1) математики иногда считают первым простым числом, хотя, единица – это совершенно особое число (на это указывал ещё великий Леонард Эйлер). Ясно, что у любого простого числа (Р = 1, 2, 3, 5, 7, 11, …) радикал равен самому простому числу, то есть rad(Р) = Р, поскольку всякое простое число (по его определению) делится только на единицу и на само себя. Почему в конце ХХ века новый параметр rad(N) математики назвали именно… радикалом? Хотя, как известно, радикал – это второе (и исторически очень древнее) название корня квадратного из числа N, то есть это (в наших обозначениях): N^0,5 или N^(1/2). Причем, корень квадратный из натурального числа N является важнейшим параметром числа N (особенно в рамках моей виртуальной космологии). Здесь, в качестве информации для размышления, можно добавить ещё конкретный пример числа N, «построенного» из двух простых чисел, близких к его корню квадратному: N = 1033*1039 = 1.073.287 (корень квадратный из этого числа примерно равен 1036).
Из основной теоремы арифметики (о факторизации натурального числа) следует, что любое натуральное число N – это произведение неких простых чисел, поэтому радикал числа N не может быть меньше 2 (за исключением радикала у числа N = 1) и не может быть больше самого числа N (когда все целые делители числа N – исключительно простые числа). Таким образом, на отрезке [2; N], то есть от 2 до числа N (включительно) радикалы натуральных чисел могут изменяться от 2 до числа N. Для краткости изложения далее мы введем целый ряд определений, которых, скорее всего, пока нет в общеизвестной теории чисел (то есть ниже идет то, что я сам придумал).
Радикал отрезка [1; N] мы определим как произведение (П) радикалов всех (N) чисел данного отрезка. То есть радикал отрезка – это произведение (П) всех простых делителей у всех N чисел отрезка. Нетрудно понять, что на отрезке [1; N] простой делитель 2 появится А(N/2) раз (где А – функция антье, которая оставляет только целую часть от десятичной дроби N/2, отбрасывая в ней все числа после запятой), простой делитель 3 появится А(N/3) раз, простой делитель 5 появится А(N/5) раз и т.д. Значит, искомое произведение П будет следующим: П = 2^А(N/2) * 3^А(N/3) * 5^А(N/5) *…* P^(N/P), где Р – это наибольшее простое число отрезка [1; N]. При этом даже для достаточно больших N можно вычислить логарифм произведения:
lnП = A(N/2)*ln2 + A(N/3)*ln3 + A(N/5)*ln5 + … + A(N/Р)*lnР. (1)
Из определения понятия «логарифм» следует, что: П = е^lnП = exp(lnП), однако уже при N = 194, мы получим колоссальное произведение П = 1,7*10^308, после которого (при больших N) компьютер уже не способен вычислять. Поэтому логично ввести очередное определение – средний радикал отрезка.
Средний радикал отрезка [1; N] (обозначим его символом Rad) – это корень N-й степени из радикала отрезка: Rad(N) = П^(1/N). То есть речь идет о среднем геометрическом из радикала отрезка: средний радикал отрезка – это такое число, что если бы ему равнялись радикалы всех натуральных чисел данного отрезка, то произведение таких радикалов численно равнялось бы радикалу отрезка (то есть произведению П). Средний радикал отрезка можно вычислить для достаточно больших N по очевидной формуле:
Rad(N) = exp^(lnП/N). (2)
Используя формулы (1) и (2), нетрудно убедиться, что какой бы отрезок [1; N] мы не взяли, всегда длина отрезка (N) будет в несколько раз больше среднего радикала отрезка, то есть отношение N/Rad(N) всегда будет больше 1 (и меньше 6, см. ниже). Указанное отношение N/Rad(N) мы назовем режимом отрезка и обозначим его символом R, то есть, для всякого отрезка [1; N] мы можем вычислить его режим: R = N/Rad(N). Например, далее мы рассмотрим режимы отрезков, у которых логарифмы их длины (lnN) равны целым числам 1, 2, 3, 4,…, 14 (и эти же числа являются порядковыми номерами взятых отрезков):
lnN N R
1 3 2,10645
2 7 2,56011
3 20 3,58840
4 55 4,65498
5 148 4,98230
6 403 5,31629
7 1 097 5,50650
8 2 981 5,61467
9 8 103 5,67334
10 22 026 5,72173
11 59 874 5,74796
12 162 755 5,76354
13 442 413 5,77208
14 1 202 604 5,77742
Из приведенных данных видно, что с ростом длины отрезка (с ростом N, которые округлены в нашей таблице до целого) режим R также нарастает, но всё медленнее и медленнее. Очевидно, что скорость (V) указанного процесса характеризует следующее отношение
Vi = (Rs – Ri)/(lnNs – lnNi) = Rs – Ri, (3)
где Ri – режим «младшего» отрезка длиной Ni (за «младшим» идет «старший» отрезок); Rs – режим «старшего» отрезка длиной Ns = e*Ni, то есть всегда lnNs – lnNi = 1 (и всегда s = i +1). Так, для первого отрезка мы получаем V = 2,56011 – 2,10645 = 0,45366, а для 13-го отрезка получаем V = 5,77742 – 5,77208 = 0,00535. Сумма скоростей первых 13-ти отрезков будет равна 3,67097 (убедитесь в этом сами), и если эту сумму прибавить к режиму первого отрезка, то мы получим режим 14-го отрезка: R = 2,10645 + 3,67097 = 5,77742. Таким образом, если бы мы нашли закон, по которому растет скорость Vi (при i = 1, 2, 3, 4, …, 14, ….), то мы смогли бы найти режим R и для Большого отрезка. Напомню, что Большой отрезок (N = 8*10^60) содержит столько целых чисел – сколько планковских времен «помещается» в возрасте Вселенной (13,7 миллиарда лет), то есть Большой отрезок олицетворяет современную нам эпоху (наше время, сегодняшний день). Большой отрезок – это главный объект исследований в рамках моей виртуальной космологии.
Анализ первых 14-ти отрезков (см. данные выше) позволяет предположить, что для последующих отрезков (с большими номерами i = lnN) закон роста скорости Vi устремляется к выражению
Vi = F/Ni^0,5, (4)
где Ni^0,5 – корень квадратный из числа Ni (этот корень стоит в знаменателе формулы);
F = 4,6692…. – постоянная Фейгенбаума – универсальная постоянная, характеризующая переход к детерминированному хаосу (открыта Митчеллом Фейгенебаумом в 1975 году, см. в Википедии статью «Универсальность Фейгенбаума»). Формула (4) является верхней (максимально возможной) оценкой скорости Vi, так, при i = 3, 4, 5,…, 13 точнее работает формула (линия тренда) Vi = 3,6781/Ni^0,5002. Почему у меня «вдруг» (и уже не первый раз) возникает именно постоянная Фейгенбаума? Здесь могу сказать, например, следующее – когда долго «копаешься» в мире натуральных чисел, то возникает некое ощущение теснейшей связи теории чисел с другими разделами высшей математики (вся математика – это единая вселенная).
Формула (4) позволяет вычислить скорости Vi для отрезков, у которых lnN = 15, 16, 17, …, 140 (для Большого отрезка), а сумма всех этих скоростей даст нам «довесок» 0,00656. Любопытно, что «довесок» численно близок к постоянной тонкой структуры (ПТС = 0,00729…) – самой загадочной физической константе. Режим 14-го отрезка в сумме с «довеском» дает нам режим Большого отрезка (его максимально возможное значение): 5,77742 + 0,00656 = 5,78398. Таким образом, длина Большого отрезка (N = 8*10^60) превосходит его средний радикал (важнейший параметр) не более, чем в 5,78398 раз, и в этом – очередное проявление «магии числа 7» (точнее говоря, чисел от 5 до 9) в конце Большого отрезка; «магии», о которой уже много говорилось в моих книгах и статьях. Например, ещё в 2003 году я показал, что в конце Большого отрезка богатство любого натурального числа N (сумма всех его целых делителей) не превысит само число N более, чем в 8,76 раз (см. мою книгу «Леонард Эйлер и космология чисел», стр. 46-47, эта книга размещена на портале «Техно-сообщество России» http://technic.itizdat.ru/, мой псевдоним там – iav2357).