АВС-гипотеза

Великую теорему Ферма пытались доказать многие математики (и не только они) в течение более трёхсот лет. При этом теорема Ферма окончательно была доказана только в 1995 году Эндрю Уайлсом (род. 1953, английский и американский математик). Доказательство Уайлса (после 7 лет самой напряжённой, самозабвенной работы) занимает около 200 страниц, при этом во всей его полноте понимают не более 10% специалистов по теории чисел – настолько сложна современная математика. В 1985 – 1988 годах в математике появилась так называемая АВС-гипотеза (достоверно не доказанная) – это очень мощный инструмент, одно из самых важных утверждений в теории чисел последних лет. Из АВС-гипотезы можно вывести множество фундаментальных результатов (по теории чисел, алгебраической геометрии и т.д.), и даже пресловутая Великая теорема Ферма теперь доказывается буквально… в три строчки! В августе 2012 года японский математик Синити Мотидзуки опубликовал серию из четырех работ (всего более 500 страниц текста), в которых, в частности, якобы доказывает знаменитую ABC-гипотезу. При этом явных «дырок» в доказательстве Мотидзуки другие математики пока не нашли, а более детальная проверка может занять несколько лет. Более подробно про АВС-гипотезу можно прочитать по ссылке: http://lenta.ru/articles/2012/09/13/abc/.
В формулировке АВС-гипотезы используется понятие радикал натурального числа N. В данном случае радикалом числа rad(N) называется произведение всех его простых делителей (то есть простых чисел: 1, 2, 3, 5, 7, 11, …. – все они делятся только на единицу и на самих себя). Например, у числа N = 12 будет такой радикал: rad(12) = 1*2*3 = 6 (а все целые делители числа 12 следующие: 1, 2, 3, 4, 6, 12). В одной из своих формулировок АВС-гипотеза звучит так: для любого действительного числа D (большего единицы) существует не более конечного числа троек натуральных чисел (А, В, С) таких, что для них выполнены одновременно три условия:
1). А + В = С;
2). А, В и С взаимно простые числа (они не имеют общих делителей, отличных от единицы);
3). Число С больше, чем [rad(А)*rad(B)*rad(C)]^D.
Например: число А = 1 (имеет делитель 1), число В = 8 (имеет делители: 1, 2, 4, 8), число С = 9 (имеет делители 1, 3, 9), при этом 1 + 8 = 9 и rad(1) = 1, rad(8) = 2, rad(9) = 3, значит, rad(1)*rad(8)*rad(9) = 1*2*3 = 6, а также число 9 больше, чем 6^1,226 (здесь D = 1,226). Однако, если взять случайным образом тройку чисел А, В и С, для которых выполняются условия 1) и 2), то почти всегда НЕ будет выполняться условие 3), поэтому тройки взаимно простых чисел, для которых C больше, чем rad(А)*rad(B)*rad(C) получили название исключительных (их в некотором смысле меньше). Численный эксперимент показывает, что среди всех подходящих троек, у которых С менее 50000, исключительных троек всего 276, однако, вместе с тем, в бесконечном ряду натуральных чисел исключительных троек бесконечно много.
Учитываю исключительную важность понятия радикал числа N (в силу фундаментального значения АВС-гипотезы), далее я постараюсь пристальней рассмотреть всё, что касается радикала (в рамках моей теории – виртуальной космологии).
Итак, радикал (rad) числа N – это произведение всех простых делителей числа N. Например, все целые делители числа N = 24 такие: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а простыми числами (то есть простыми делителями) среди них являются только числа 1, 2 и 3, поэтому радикал числа N = 24 будет следующим: rad(24) = 1*2*3 = 6. Здесь надо особо подчеркнуть, что единицу (число N = 1) математики иногда считают первым простым числом, хотя, единица – это совершенно особое число (на это указывал ещё великий Леонард Эйлер). Ясно, что у любого простого числа (Р = 1, 2, 3, 5, 7, 11, …) радикал равен самому простому числу, то есть rad(Р) = Р, поскольку всякое простое число (по его определению) делится только на единицу и на само себя. Почему в конце ХХ века новый параметр rad(N) математики назвали именно… радикалом? Хотя, как известно, радикал – это второе (и исторически очень древнее) название корня квадратного из числа N, то есть это (в наших обозначениях): N^0,5 или N^(1/2). Причем, корень квадратный из натурального числа N является важнейшим параметром числа N (особенно в рамках моей виртуальной космологии). Здесь, в качестве информации для размышления, можно добавить ещё конкретный пример числа N, «построенного» из двух простых чисел, близких к его корню квадратному: N = 1033*1039 = 1.073.287 (корень квадратный из этого числа примерно равен 1036).
Из основной теоремы арифметики (о факторизации натурального числа) следует, что любое натуральное число N – это произведение неких простых чисел, поэтому радикал числа N не может быть меньше 2 (за исключением радикала у числа N = 1) и не может быть больше самого числа N (когда все целые делители числа N – исключительно простые числа). Таким образом, на отрезке [2; N], то есть от 2 до числа N (включительно) радикалы натуральных чисел могут изменяться от 2 до числа N. Для краткости изложения далее мы введем целый ряд определений, которых, скорее всего, пока нет в общеизвестной теории чисел.
Радикал отрезка [1; N] мы определим как произведение (П) радикалов всех (N) чисел данного отрезка. То есть радикал отрезка – это произведение (П) всех простых делителей у всех N чисел отрезка. Нетрудно понять, что на отрезке [1; N] простой делитель 2 появится А(N/2) раз (где А – функция антье, которая оставляет только целую часть от десятичной дроби N/2, отбрасывая в ней все числа после запятой), простой делитель 3 появится А(N/3) раз, простой делитель 5 появится А(N/5) раз и т.д. Значит, искомое произведение П будет следующим: П = 2^А(N/2) * 3^А(N/3) * 5^А(N/5) *…* P^(N/P), где Р – это наибольшее простое число отрезка [1; N]. При этом даже для достаточно больших N можно вычислить логарифм произведения:
lnП = A(N/2)*ln2 + A(N/3)*ln3 + A(N/5)*ln5 + … + A(N/Р)*lnР. (1)
Из самого определения понятия «логарифм» следует, что: П = е^lnП = exp(lnП), однако уже при N = 194, мы получим колоссальное произведение П = 1,7*10^308, после которого (при больших N) компьютер уже не способен вычислять. Поэтому логично ввести очередное определение – средний радикал отрезка.
Средний радикал отрезка [1; N] (обозначим его символом Rad) – это корень N-й степени из радикала отрезка: Rad(N) = П^(1/N). То есть речь идет о среднем геометрическом из радикала отрезка: средний радикал отрезка – это такое число, что если бы ему равнялись радикалы всех натуральных чисел данного отрезка, то произведение таких радикалов численно равнялось бы радикалу отрезка (то есть произведению П). Средний радикал отрезка можно вычислить для достаточно больших N по очевидной формуле:
Rad(N) = exp^(lnП/N). (2)
Используя формулы (1) и (2), нетрудно убедиться, что какой бы отрезок [1; N] мы не взяли, всегда средний радикал отрезка (Rad) численно будет меньше длины этого отрезка (N). Поэтому удобно говорить об отношение N/Rad(N) разных отрезков (при разных N), например:
N N/Rad(N)
10 3,03420
100 4,76665
1000 5,45929
10000 5,68394
100000 5,75641
1000000 5,77661
1500000 5,77823.
Экстраполируя эти цифры, можно предположить, что для Большого отрезка (N = 8*10^60) отношение N/Rad(N) не превысит 6,28. Напомню, что Большой отрезок (главный объект рассмотрения моей виртуальной космологии) содержит столько целых чисел – сколько планковских времен «помещается» в возрасте Вселенной (13,7 миллиарда лет), то есть Большой отрезок олицетворяет современную нам эпоху (наше время, сегодняшний день). Таким образом, наибольшее число N превосходит средний радикал (важнейший параметр) Большого отрезка не более, чем в 6,28 раз, и в этом – очередное проявление «магии числа 7» (точнее говоря, чисел от 5 до 9) в конце Большого отрезка; «магии», о которой уже много говорилось в моих книгах и статьях. Реальное отношение N/Rad(N) с ростом N «затормаживается» настолько основательно (постройте график по приведенным цифрам), что можно предположить даже существование некого числового предела (новой математической константы?).
В части радикалов можно получить любопытные оценки, если сделать следующее (заведомо ложное) допущение: пусть все натуральные числа – это сплошь простые числа (радикалы которых, как мы уже знаем, равны самому числу). Разумеется, что это не так, ведь количество (К) простых чисел на отрезке [1; N] устремляется к величине:
K = N/lnN, (3)
то есть на любом достаточно большом отрезке количество (K) простых чисел будет в lnN раз меньше длины отрезка (N) – это одно из важнейших утверждений теории чисел. Так, на Большом отрезке (N = 8*10^60) на каждое простое число в среднем приходится около ln(N) = 140 составных чисел (они делятся нацело не только на 1 и на самих себя, но и на другие целые числа). Итак, если принять указанное выше допущение, то радикал Большого отрезка был бы равен произведению всех натуральных чисел отрезка: П = 1*2*3*4*5*6*7*…*N = N! (читается N-факториал), а из замечательной формулы Стирлинга мы имеем такую оценку: N! = (2*пи*N)^(1/2)*(N/e)^N. Отсюда получаем, что для натуральных чисел на отрезке [1; N] их среднее геометрическое будет порядка П^(1/N) = (N!)^(1/N) = N/e. Значит, радикал Большого отрезка Rad(N) обязан быть меньше величины N/e, поэтому отношение N/Rad(N) будет больше, чем е = 2,718 – именно это и подтверждает полученная выше оценка: в конце Большого отрезка N/Rad(N) будет около 6,28.
При указанном выше допущении (все числа – это простые числа) очевидно, что сумма радикалов всех чисел Большого отрезка (N = 8*10^60) не превысит следующей суммы: S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + … + N = N(N + 1)/2 = 3,2*10^121, а средний арифметический радикал Большого отрезка не превысит величины S/N = (N + 1)/2. Согласно моим исследованиям (книга «Зеркало» Вселенной», стр.15-16) сумму всех простых чисел (sumP) на отрезке [1; N] можно оценить по формуле sumP = (N^2)/ln(N^2). Реальная сумма простых чисел будет больше, так при N = 1.000.000 относительная погрешность (ОП) указанной формулы будет около 3,85% (причем ОП с ростом N уменьшается близко к закону ОП = 0,092/N^0,063). Значит, средний арифметический радикал в конце Большого отрезка [1; N] будет никак не меньше, чем sumP/N = N/ln(N^2) = (N/lnN)/2 = K/2, то есть численно средний арифметический радикал Большого отрезка превосходит половину всего количества (K) простых чисел, находящихся на этом отрезке. Сумма всех простых чисел на Большом отрезке будет порядка sumP = 2,28*10^119, таким образом, реальная сумма радикалов всех целых чисел Большого отрезка будет между величинами 2,28*10^119 и 3,2*10^121. Посередине указанных значений лежит число 1,61*10^121 – именно его мы условно и примем за сумму радикалов Большого отрезка, при этом радикал единицы (напомню, что число N = 1 – это совершенно особое число) составляет 6,2*10^–122 часть от суммы радикалов Большого отрезка.
В рамках моей виртуальной космологии число порядка 10^–122 (и именно в конце Большого отрезка) получено далеко не в первый раз. Напомню также, что это число (2,56*10^–122 планковских длин в степени «минус» два, см. в Википедии статью «Проблема космологической постоянной») символизирует ускоренное расширение Вселенной, которое физики связывают с ненулевой космологической константой (с тёмной энергией, с квинтэссенцией). Однако у физиков пока нет теории, способной однозначно ответить на вопрос: почему космологическая константа так мала (почти равна нулю). Если рассматривать космологическую константу как тензор энергии-импульса вакуума, то она может интерпретироваться как суммарная энергия, которая находится в пустом пространстве. Так вот, у меня есть ощущение, что мир чисел может неким образом… помочь физикам в части интерпретации космологической константы.
В части радикалов представляют интерес числа N, у которых радикал впервые (в ряду натуральных чисел) равен произведению первых простых чисел, идущих подряд (без пропусков). Например, число N = 5 342 931 457 063 200 – это первое число, у которого всего 13 простых делителей и они идут подряд (без пропусков): 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, а перемножение этих делителей дает нам радикал данного числа: rad(N) = 7 420 738 134 810 (всего же у этого числа N насчитывается 36864 целых делителя). Приведу первые 14 выше описанных чисел (это бесконечная последовательность): 1, 2, 6, 60, 420, 27 720, 360 360, 12 252 240, 232 792 560, 5 354 228 880, 2 329 089 562 800, 72 201 776 446 800, 5 342 931 457 063 200, 219 060 189 739 591 000, … На 22 сентября 2012 года этого ряда не было в «Энциклопедии целочисленных последовательностей» (англ. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS) – интернет-энциклопедии, содержащей (на январь 2012 года) более 200 тысяч самых разных целочисленных последовательностей. Автор и хранитель энциклопедии (сайта http://oeis.org/?language=russian ) – Нейл Слоан (род. 1939 г., американский и английский математик). Алгоритм нахождения всех чисел N указанной выше последовательности, фактически, был описан мной ещё в 2004 году в книге «Зеркало» Вселенной» (на стр. 33–35, см. портал «Техно-сообщество России» http://technic.itizdat.ru/, мой псевдоним там – iav2357). Раньше я уже писал в своих статьях, что в рамках виртуальной космологии можно без особого труда описать («обнаружить») бесконечно много самых разных целочисленных последовательностей; «бесконечно много» – в той же мере, как бесконечен сам ряд натуральных чисел. И хотя практическая польза от энциклопедии Слоана не вызывает сомнений, однако, с моей точки зрения, самое важное для нас – это попытаться увидеть «физический» смысл, «зашифрованный» в наиболее интересных последовательностях мира чисел, который, вероятно, является неким математическим «зеркалом» реального мироустройства. Приведенный мной целочисленный ряд, как и весь материал данной статьи (в части радикалов), я расцениваю как очень интересный (весьма «радикальный») материал с точки зрения виртуальной космологии.