Фундамент мироздания и... мир чисел

Даже «до мозга костей» гуманитариям иногда бывает полезно коснуться двух указанных тем: о фундаменте мироздания и о мире натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … – что может быть проще – не так ли?). По возможности просто и кратко я обрисую обе эти темы. Более того, попытаюсь эти темы… связать между собой зыбким «мостиком» своих фантазий под названием виртуальная космология. Впрочем, как ни крути, а мои исследования мира чисел кое-что добавляют в общеизвестную теорию чисел – об этом не стоит забывать апологетам точных наук (которые и сам уважаю не меньше моих суровых критиков). Короче говоря, я призываю «широкий круг читателей» вместе пофантазировать…
**************************************
Мы начнем с фундамента мироздания (что полезно знать каждому современному человеку).
Ещё в V веке до нашей эры в древней Греции философы предположили, что все вещества состоят из атомов. Однако потребовалось ещё около 2300 лет, чтобы в 1911 году (всего каких-то 100 лет назад!) физик Эрнест Резерфорд, проделав ряд экспериментов, впервые пришёл к выводу, что атом представляет собой… подобие планетной системы, в которой электроны движутся по орбитам вокруг расположенного в центре атома тяжёлого положительно заряженного ядра. Дальнейшее (очень бурное) изучение атома привело к созданию квантовой механики, которая позволила объяснить подавляющее большинство фактов, наблюдаемых в мире элементарных частиц – протонов, нейтронов, электронов и прочих «сортов» (типов) элементарных частиц, которые физики продолжают открывать и открывать «на кончике пера» и на своих ускорителях. При этом некоторые теории (теория струн и другие) допускают, что количество «сортов» элементарных частиц – бесконечно. Всё это множество элементарных частиц взаимодействует между собой с помощью лишь 4 фундаментальных взаимодействий, то есть сил в природе, одной из которых является всем известная гравитация (притяжение, всемирное тяготение).
Стандартная модель – так называется физическая теория, относительно хорошо описывающая почти все (кроме гравитационного) взаимодействия элементарных частиц. Согласно этой теории все элементарные частицы, в свою очередь, состоят из 12 фундаментальных частиц, а именно:
– из 6 «сортов» кварков (физики их обозначают символами d, u, s, c, b, t);
– из 6 «сортов» лептонов [где 6 «сортов» – это очередное проявление «магии» числа 7 (плюс-минус 2) – см. мою статью «Магия» числа 7»].
Кварки участвуют в 3 фундаментальных взаимодействиях (сильных, слабых и электромагнитных) с помощью «переносчиков» (взаимодействия) 3 «сортов»: фотона (квант света), 3 бозонов и 8 глюонов (опять «магия» числа 7?). Кроме того, кварки обладают и внутренней характеристикой, условно называемой «цвет», причем существует только 3 «сорта» цвета. В силу неизвестных пока причин, кварки естественным образом группируются в 3 «поколения», в каждом из которых один кварк обладает зарядом «плюс» 2/3, а другой − «минус» 1/3. Подразделение на 3 поколения распространяется также и на лептоны (первое поколение которых это – электрон и электронное нейтрино). Вместе с тем, если бы существовало только одно поколение кварков и лептонов, то почти все наблюдаемые во Вселенной процессы выглядели бы точно так же. Кстати говоря, после прочтения данного абзаца можно задуматься и о «магии» числа… 3?
До сих пор нет экспериментальных указаний на то, что кварки и лептоны имеют внутреннюю структуру. Кварки являются точечными частицами вплоть до масштаба примерно 0,5*10^−19 м (см. Википедию), что почти в 18 тысяч раз меньше размера протона. Тем не менее, физиками-теоретиками делаются попытки построить теории, в которых кварки и лептоны были бы не точечными, а составными объектами (состоящими из неких преонов).
Кварки не могут наблюдаться в свободном виде (явление, получившее название конфайнмент), однако многие физики уверены, что кварки – это реально существующие объекты, а не только хорошо разработанная абстрактная (математическая) модель, кстати говоря, вся современная теоретическая физика – это «сплошная» математика и, как правило, чрезвычайно сложная. Попытки обойтись без кварков наталкиваются на трудности с описанием всех тех многочисленных экспериментов, которые очень естественно описывались в кварковой модели.
Какова же роль кварков в физике? Из кварков состоят так называемые адроны – класс элементарных частиц, подверженных сильному взаимодействию (именно его открытие и привело к созданию ядерного оружия). Адроны делятся на 2 основные группы: барионы и мезоны.
Барионы состоят из 3 кварков, например, (u+u+d) – это кварковый состав протона, а (u+d+d) – это кварковый состав нейтрона. Именно из барионов построена подавляющая часть наблюдаемого нами вещества во Вселенной – это нуклоны (протоны и нейтроны), составляющие ядро любого атома. Барионная материя – это материя, состоящая из барионов (протонов, нейтронов) и электронов (это лептон), то есть, это привычная форма материи, вещество (существует также барионная антиматерия, или антивещество). К барионам относятся также многочисленные гипероны – более тяжёлые и нестабильные частицы, получаемые на ускорителях элементарных частиц. Предполагается существование экзотических барионов, в частности состоящих из… 4 кварков и 1 антикварка.
Мезоны – состоят из чётного числа кварков и антикварков (из пары кварк-антикварк; из двух кварков и двух антикварков), при этом все мезоны нестабильны. Первоначально мезоны были предсказаны как частицы, переносящие силы, которые связывают протоны и нейтроны. Пион был первым экспериментально открытым настоящим мезоном. Предполагается существование экзотических мезонов, в частности адронные молекулы, глюболы и гибридные мезоны.
Радиус протона равен 0,8768*10^−15 м, и здесь любопытны следующие сравнения (просто мои фантазии в духе виртуальной космологии). Цена деления на всем известных линейках равна 1 миллиметру (1 мм = 1/1000 м = 10^–3 метра), при этом считается, что глаз человека различает без всякого напряжения ещё половину цены деления. То есть мы (отдавая дань гармонии) способны увидеть, скажем, «золотое сечение» миллиметра, равное 0,618 мм (0,618*10^–3 м) – это порог точности для невооруженного глаза. И если этот порог точности уменьшить в и-триллион раз (в 7*10^11 раз) то мы получим… радиус протона. А если порог точности (0,618 мм) увеличить в и-триллион раз, то мы получим почти… радиус Солнца – самой типичной (самой распространенной по своим параметрам) звезды во Вселенной, входящей во все её галактики, подобно тому, как протон входит во все атомы Вселенной. [См. мою статью «И-триллион и гибель цивилизации», в которой, разумеется, говорится, в первую очередь, не о конце света, а о возможной связи виртуального мира чисел с… реальным, физическим миром.]
Не смотря на все успехи Стандартной модели в описании реального мира, в последние годы стали появляться результаты, в которых предсказания Стандартной модели слегка расходятся с экспериментом, и даже стали накапливаться явления, крайне трудно поддающиеся интерпретации в рамках Стандартной модели. Более того, ожидается, что эксперименты на новейшем суперколлайдере LHC (под Женевой) смогут зарегистрировать множество отклонений от Стандартной модели. При всём при этом физики-теоретики никогда не прекращали разработку всё новых и новых теорий, объясняющих фундаментальные основы мироздания. Одной из таких теорий является и теория струн.
Теория струн – это направление математической физики, изучающее (с начала 1970-х годов) динамику и взаимодействия так называемых квантовых струн. Замечательная книга (мировой бестселлер!) физика-струнника Грина Брайана, «Элегантная Вселенная. Суперструны, скрытые размерности и поиски окончательной теории» (М.: Едиториал УРСС, 2004 г.) позволяет обрисовать квантовые струны следующим образом (и проще этого уже не рассказать?).
Представьте себе резиновый шнур исчезающе малой толщины, то есть имеющий только одно измерение – длину. Так, например, для нас волосы на голове также имеет «только» длину, а про толщину волоса (0,08 мм) мы, вообще говоря, даже не вспоминаем. Вот и физикам толщина струны просто «не нужна». Из одномерного резинового шнура образовано («свернуто в бублик») кольцо невообразимо малого размера: диаметр кольца – порядка планковской длины (10^–35 метра) – это минимально возможный размер кольца («диаметр бублика» из струны с нулевой толщиной) и наиболее вероятный размер струн в мироздании. Однако теория струн говорит, что диаметры иных колец могут быть больше планковской длины на несколько порядков (и даже в и-триллион раз больше?). Поскольку струны (размеры колец) чрезвычайно малы, то они выглядят для экспериментаторов как точечные частицы и не противоречат результатам экспериментов, поставленных в рамках других физических теорий (скажем, Стандартной модели). А теперь представьте, что выше описанный (бесконечно тонкий) резиновый шнур, свернутый в (крошечное) кольцо, колеблется (вибрирует), причем по окружности кольца укладывается всегда исключительно целое количество волн (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, что также дает мне право верить в свою виртуальную космологию, рассматривающую ряд натуральных чисел под неожиданным углом зрения, см. ниже). Выше были описаны замкнутые струны («кольца», именно о них мы и будем говорить в данной статье), однако существуют ещё открытые струны (как бы «палочки» со свободными концами), и для них справедливо почти всё, что было и ещё будет сказано нами о замкнутых струнах.
Струны – это новый (и предельно глубокий?) микроскопический уровень в известной иерархии материи, которую можно свести к следующему: в фундаменте мироздания лежат струны, которые «формируют» кварки и лептоны; из которых «склеены» протоны, нейтроны, электроны и прочие элементарные частицы; из которых состоят атомы; из которых составлены молекулы; из которых построено всё вещество (так, живые клетки построены из органических молекул, а человек состоит из этих молекул).
Бесконечно тонкая одномерная (имеющая только «длину») струна – это математическая идеализация. Но из чего на самом деле состоят струны? Обычно считают, что этот вопрос не имеет смысла, так как нет ничего более фундаментального, чем струна. Струна не имеет компонентов, более глубокой основы (хотя уже есть интригующие догадки о более глубоких уровнях структуры струны). «Материал» всего вещества и всех четырех фундаментальных взаимодействий (четырех сил природы) в теории струн – одинаков, так как все струны абсолютно идентичны. А до теории струн считалось, что все фундаментальные частицы «отрезаны от разных кусков ткани»: для каждого из 6 «сортов» кварка – своя «ткань», для 6 «сортов» лептонов – своя и т. д. В теории струн совершенно иное объяснение того, что такое элементарная частица (любая, в том числе и фундаментальная: кварки, лептоны) – в теории струн «просто» каждая из разрешенных мод колебаний струны проявляется в виде… элементарной частицы (масса и заряды которой определяются конкретным видом колебания струны). Та же идея применима к фундаментальным взаимодействиям, а вернее, к частицам-«переносчикам» этих полей. Таким образом, согласно теории струн, всё вещество и все силы природы обязаны своим происхождением одной фундаментальной величине – колеблющейся струне, которая имеет резонансные частоты, то есть всё в этом мире состоит из комбинаций вибрирующих волокон. Микроструктура Вселенной – это сложно переплетенный, многомерный лабиринт, в котором струны бесконечно закручиваются и вибрируют, ритмично отбивая законы космоса. То есть ВСЁ (в том числе все тайны жизни, мы с вами и наши мысли) – это своеобразный… «танец» струн. Представить такое непросто, но это, по моему мнению, интереснее любой фантастики (в том числе и религии).
Теория хаоса учит, что при увеличении сложности системы начинают действовать новые законы (закон перехода количества в новое качество). Так, понимание струнной природы электрона – это одно, а понимание, скажем, процессов грозового разряда (молнии) – совсем другое, но это не связано с работой новых физических законов. В объяснении молнии есть только чисто вычислительные проблемы, главное – это понять, как устроен фундамент мироздания, а всё остальное – «дело техники». Этот фундамент мироздания и пытается описать теория струн (а также и… моя виртуальная космология, но лишь в малых фрагментах фундамента и в предельно упрощенной форме).
Масса любой фундаментальной частицы (её «сорт», тип) определяется энергией колебания струны: струны тяжелых частиц совершают более интенсивные колебания, струны легких частиц колеблются менее интенсивно. Чем больше амплитуда и чем короче длина волны, тем больше энергия, причем энергия колебания струн может иметь только дискретные значения (и снова возникает «тень» натурального ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … и моей виртуальной космологии). Но наиболее типичные колебания струны соответствуют частице, масса которой равна планковской массе (0,000000001 кг – это масса пылинки, что для микромира является гигантской массой). То есть сравнительно легкие элементарные частицы образуются, словно из тумана, расстилающего над ревущим океаном высокоэнергетических струн. Существует бесконечное число мод колебаний струны, то есть количество различных «сортов» элементарных частиц – бесконечно.
«Теория всего» – так можно назвать теорию струн, ибо все события во Вселенной являются отражением одного великого физического принципа. И это – не конец науки, а её начало; прочный фундамент (основание, точка опоры) для строительства нашего понимания мироздания. Теория струн – мощная парадигма (совокупность) понятий о пространстве-времени, возможно, выводящая нас на финишную прямую; она впервые дает изящные ответы на самые фундаментальные вопросы. Однако, несмотря на математическую строгость и целостность теории, пока не найдены варианты экспериментального подтверждения теории струн, теория оказалась в «экспериментальном вакууме». Но развитие теории струн продолжается, и есть надежда, что недостающие элементы струнных теорий и соответствующие феномены будут найдены в ближайшем будущем, в том числе в результате экспериментов на суперколлайдере LHC (под Женевой).
******************************************
Ну а теперь мы взглянем на виртуальный мир натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …) и, как говорится, «почувствуйте разницу» или всё-таки… сходство (некую «связь») с реальным, физическим миром (лично я «агитирую» читателя за последнюю точку зрения).
Для начала приведу ключевые понятия своей виртуальной космологии (космологии чисел).
Тип числа N («сорт» числа) – это количество всех целых делителей данного числа (включая 1 и само N). Например, у числа N = 20 всего шесть делителей: 1, 2, 4, 5, 10, 20, поэтому его тип (Т) равен шести: Т = 6. Единица (число N = 1) является единственным числом, у которого тип равен единице (Тmin = 1). А вот, например, число N = 55.440 это первое число (в ряду всех натуральных чисел), у которого тип Т = 120. После данного числа N будут появляться и другие числа N, у которых также Т = 120 (например, у числа N = 261.360) – всё это легко проверить на компьютере (в программе Excel). Таким образом, существует бесконечно много чисел N, у которых Т = 120 – все эти числа N образуют как бы свой мир (у которого свои закономерности, свои формулы, свои тайны, парадоксы и т.д.). Очевидно, что все возможные миры («номера» этих миров): Т = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … также образуют бесконечный ряд натуральных чисел, причем четные миры (с четным Т = 2, 4, 6, 8, …) имеют целый ряд характерных законов, отличающих их от нечетных миров (с нечетным Т = 3, 5, 7, 9, ….).
Большой отрезок – это отрезок натурального ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, N*, где (последнее, наибольшее) число N* = 10^61, а если говорить строго, то число N* равно количеству планковских времен (10^–44 секунды) в возрасте Вселенной (которой 13,75 миллиардов лет). Для сравнения могу сказать, что общее число атомов, составляющих Землю, «всего лишь» порядка 10^50 атомов, впрочем, и это число лежит далеко за пределами нашего воображения, что совсем не мешает нам рассуждать на эту тему и в этом – одна из удивительных особенностей точных наук и нашего разума.
По моим оценкам на Большом отрезке («рано или поздно») появится около 120.000 различных нечетных миров (с разными нечетными типами Т) и около 687.430 четных миров (с разными четными типами Т). То есть к концу Большого отрезка (к «настоящему времени») среди всех 10^61 натуральных чисел N, мы обнаружим 807.430 (120.000 + 687.430) самых разных типов («сортов») Т (как четных, так и нечетных). На основании указанных данных из мира чисел в рамках виртуальной космологии я выдвигаю следующую гипотезу: в настоящее время в реальном мире существует не более 807.430 «сортов»… элементарных частиц (хотя, в принципе, их количество бесконечно велико подобно тому, как в мире чисел бесконечен ряд типов Т = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …). На это апологеты точных наук мне сразу же заявляют, что моя данная гипотеза – это полный бред (нумерология и т.п.)! А, может быть, всё-таки не стоит сходу отвергать мой «бред»? Ведь мир чисел также говорит и о том, что в конце Большого отрезка максимально возможный тип чисел N достигает значения Tmax = 7*10^11 (то есть тип чисел достигает и-триллиона); а в реальном мире есть немало примеров «магии» и-триллина – как некого «предельного» значения для самых разных физических параметров реального мира (см. мою статью «И-триллион и гибель цивилизации»).
Простое число N – это натуральное число, имеющее только два целых делителя: единицу и само N. Ясно, что у любого простого числа тип равен двум: Т = 2. Простые числа – это главные «объекты» изучения общеизвестной теории чисел (раздел высшей математики, то есть законы простых чисел – не я придумал). Простых чисел бесконечно много: N = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, … Замечу, что единица (N = 1) – это совершенно особое, исключительное число, но иногда и единицу математики принимают за простое число. Мир простых чисел (мир Т = 2) – это также совершенно особый мир, поскольку именно из простых чисел «строятся» (как из кирпичиков) все прочие натуральные числа N (из всех прочих миров Т = 3, 4, 5, 6, 7, …). Например, N = 2^4 * 3^3 * 5^1 * 11^2 = 261.360 и это число (N = 261.360) нельзя факторизовать никаким иным образом. Кстати, если все степени (факторизации) увеличить на единицу и перемножить, то мы получим количество целых делителей (то есть тип Т) у данного числа N, а именно: Т = (4+1) * (3+1) * (1+1) * (2+1) = 120, значит, число N = 261.360 имеет Т = 120 (имеет 120 целых делителей).
Как мне представляется, запись любого натурального числа N в факторизованном виде (например, N = 261.360 = 2^4 * 3^3 * 5^1 * 11^2) позволяет проводить некие (неужели всё-таки лишь «бредовые»?) аналогии между «устройством» фундамента мира чисел и «устройством»… фундамента реального мироздания, описанного, скажем, в теории струн (см. выше).
Мощные числа N – это числа, имеющие тип Т, который превосходит все ранее «появившиеся» типы Т (при «движении» из самого начала натурального ряда). Проще говоря, мощные числа N имеют наибольшее количество целых делителей на отрезке от N = 1 до данного числа N. Приведу самое начало бесконечного ряда мощных чисел: N = 2, 6, 12, 24, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, … (все эти мощные числа принадлежат четным мирам Т).
Любопытно, что мощные числа N даже в конце Большого отрезка имеют относительно «скромную» на вид факторизацию. Например, рассмотрим колоссальное число N = 2 875 918 326 781 570 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 (вместо нулей должны стоять некие цифры, но мой компьютер их уже не способен показать) = 2,875*10^60 (примерное значение указанного числа). Так вот, у выбранного нами колоссального мощного числа факторизация имеет… вполне «божеский вид»: N = 2^9 * 3^5 * 5^3 * 7^2 * 11^2 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29 * 31 * 37 * 41 * 43 * 47 * 53 * 59 * 61 * 67 * 71 * 73 * 79 * 83 * 89 * 97 * 101 * 103 * 107 * 109 * 113 * 127 * 131 * 137 = 2,875*10^60. Как видим, данное мощное число N «строится» с помощью первых 33 простых чисел (2, 3, 5, …, 137), причём здесь простые числа идут подряд (без пропусков) и каждое из них возведено в некую степень (ряд всех его степеней: 9, 5, 3, 2, 2, 1, 1, 1, …, 1). Очевидно, что тип (Т) выбранного мощного числа N будет таким: Т = (9+1) * (5+1) * (3+1) * (2+1) * (2+1) * (1+1) *…* (1+1) = 579.820.584.960, то есть выбранное нами мощное число N имеет более половины триллиона целых делителей! Кстати говоря, «отталкиваясь» именно от указанного мощного числа N, я и пришёл к оценке своего и-триллиона (Tmax = 7*10^11 в конце Большого отрезка).
Ну а далее мы окунемся в общеизвестную теорию чисел [и только слегка пофантазируем].
Кристиан Гольдбах (1690–1764) – немецкий математик, достиг, казалось бы, немало в своей жизни: действительный член (профессор математики с 1725), первый конференц-секретарь и советник Петербургской Академии наук, тайный советник. Однако в истории математики Гольдбах более всего известен лишь… единственной проблемой, которую в 1742 он предложил в письме Леонарду Эйлеру. А вот уже Леонард Эйлер был самым настоящим Гением (и даже его современники в этом не сомневались!). Эйлер родился в 1707 в Базеле (Швейцария), а умер в 1783 в Санкт-Петербурге (где жил и работал 31 год, а теперь покоится в его некрополе XVIII века). Леонард Эйлер – швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук. Эйлер – автор более чем 800 работ (и этого показателя никто не сумел превзойти!) по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др.
Итак, в 1742 году Гольдбах послал письмо Леонарду Эйлеру, в котором он высказал следующее предположение (так называемая проблема Гольдбаха):
Любое нечётное число большее 5 можно представить в виде суммы трёх простых чисел (при этом каждое простое число может быть использовано больше одного раза). Например: 7 = 3 + 2 + 2; 9 = 3 + 3 + 3 и так далее. [Сравните это с физикой: барионы – состоят из 3 кварков, например, (u+u+d) – это кварковый состав протона, а (u+d+d) – это кварковый состав нейтрона и т.п. Именно из барионов построена подавляющая часть наблюдаемого нами вещества во Вселенной, ведь протоны и нейтроны составляют ядро любого атома. См. выше Стандартную модель в физике.]
Эйлер, разумеется, тоже заинтересовался проблемой Гольдбаха и (ведь гений!)… выдвинул более сильную гипотезу (так называемая проблема Эйлера):
Любое чётное число большее 2 можно представить в виде суммы двух простых чисел (при этом каждое простое число может быть использовано больше одного раза). Например: 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 3 + 7 = 5 + 5; 12 = 5 + 7; 14 = 3 + 11 = 7 + 7; 16 = 3 + 13 = 5 + 11; 18 = 5 + 13 = 7 + 11; 20 = 3 + 17 = 7 + 13 и так далее. [Опять сравните с физикой: мезоны – состоят из чётного числа кварков и антикварков (из пары кварк-антикварк; из двух кварков и двух антикварков). См. выше Стандартную модель в физике.] Из справедливости утверждения проблемы Эйлера автоматически следует справедливость проблемы Гольдбаха: если каждое чётное число большее 2 есть сумма двух простых чисел, то, добавляя 3 к каждому чётному числу, можно получить все нечётные числа большие 5. Проблема Эйлера до сих пор является одной из старейших нерешённых проблем (см. ниже).
А теперь рассмотрим две указанные (чисто математические?) проблемы более пристально.
Проблема Гольдбаха.
В 1923 году английские математики Харди и Литлвуд показали, что в случае справедливости некоторого обобщения гипотезы Римана, проблема Гольдбаха верна для всех достаточно больших нечётных чисел (ДБНЧ). В 1937 году советский математик И. М. Виноградов представил доказательство, не зависящее от справедливости гипотезы Римана, то есть доказал, что любое достаточно большое нечётное число может быть представлено в виде суммы трёх простых (за это Виноградов получил Сталинскую премию и звание Героя Социалистического Труда). Сам Виноградов не дал явной оценки для этого «достаточно большого нечетного числа» (ДБНЧ), но его студент К. Бороздин доказал, что нижняя граница такова: ДБНЧ > 3^(3^15) = 10^6.846.168 (примерно). То есть, это указанное ДБНЧ содержит почти 7 миллионов цифр, что, в настоящее время, делает невозможной прямую проверку всех меньших чисел (даже на суперкомпьютере).
В дальнейшем результат Виноградова (Бороздина) многократно улучшали, пока в 1989 году Ванг и Чен не опустили нижнюю границу: ДБНЧ > e^(e^11,503) = 10^43.000 (примерно), что, тем не менее, по-прежнему находится вне пределов досягаемости для явной проверки всех меньших чисел при современном развитии вычислительной техники (суперкомпьютеров).
В 1997 году Дезуйе, Эффингер, Тэ Риле и Зиновьев показали, что обобщённая гипотеза Римана влечёт справедливость (слабой) проблемы Гольдбаха. Они доказали её справедливость для ДБНЧ >10^20, в то время как справедливость утверждения для меньших чисел легко устанавливается на компьютере (что, с точки зрения математиков, доказательством… НЕ является!). Таким образом, проблема Гольдбаха всё еще… не решена.
Проблема Эйлера
Виноградов в 1937 году и Теодор Эстерманн в 1938 году показали, что почти все чётные числа представимы в виде суммы двух простых чисел (доля непредставимых, если они есть, стремится к нулю). Этот результат немного усилен в 1975 году Хью Монтгомери и Робертом Чарльзом Воном. Они показали, что существуют положительные константы c и C, такие, что количество чётных чисел, не больших N, непредставимых в виде суммы двух простых чисел, не превышает C*N^(1 − c).
В 1938 (?) году советский математик Л.Г. Шнирельман (1905–1938) доказал, что любое чётное число представимо в виде суммы не более чем 300.000 простых чисел. Этот результат Шнирельмана многократно улучшался. В 1995 году Ремер доказал, что любое чётное число – это сумма не более чем 6 простых чисел (и это – одно из проявлений «магии» числа 7 в мире чисел?)
В 1966 году Чэнь Цзинжунь доказал, что любое достаточно большое чётное число (ДБЧЧ) представимо или в виде суммы двух простых чисел, или же в виде суммы простого числа и полупростого (произведения двух простых чисел). Например, 100 = 23 + 7•11.
На июль 2008 года проблема Эйлера для всех чётных чисел, не превышающих 1,2*10^18, была проверена на компьютере (что, с точки зрения математиков, доказательством… НЕ является!). Таким образом, проблема Эйлера… далека от своего решения. Добавлю, что проблема Эйлера может быть переформулирована как утверждение о неразрешимости диофантова уравнения 4-й степени некоторого специального вида (хороший повод для очередных фантазий в рамках виртуальной космологии!).
********************************
Ну а далее я… «пущусь во все тяжкие» в рамках виртуальной космологии (своей более чем спорной «гипотезы-игры»), наживая себе всё новых и новых «врагов» в лице строгих апологетов точных наук (о «нелюбви» ко мне со стороны гуманитариев и совсем уже невежественных людей – даже и говорить не приходится).
Существует весьма спорная точка зрения (и вовсе не я её придумал!), что если на компьютере была проверена правильность некого математического утверждения (скажем, выше описанной проблемы Эйлера), то данное утверждение, вообще говоря, можно считать… доказанным, как если бы оно было доказано чисто аналитически, то есть на уровне формул, лишь с помощью «карандаша и листков бумаги» (кстати, иных «инструментов» настоящий математик в своей работе вообще не признает!).
Поскольку сам я не математик (а инженер), то и виртуальная космология (придуманная мною в 2000 году) вполне «доверяет» математическим утверждениям, проверенным на компьютере. Такой подход у меня вполне оправдан и потому, что виртуальная космология рассматривает, как правило, «лишь» самое начало натурального ряда: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, N*, где число N* = 10^61, а если говорить строго, то число N* равно количеству планковских времен в возрасте Вселенной (13,75 миллиардов лет или 13.750.000.000 лет * 365 дней * 24 часа * 60 минут * 60 секунд = 433 620 000 000 000 000 = 4,3*10^17 секунд). Иначе говоря, я просто… пронумеровал каждый элементарный временной интервал (эви – это просто второе название планковского времени, 1 эви = 5,4*10^–44 секунды) в возрасте Вселенной, после чего «сухой, скучный» Большой отрезок [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, 10^61] натурального ряда сразу… «ожил» в моём воображении – мне стало гораздо интереснее исследовать мир натуральных чисел на компьютере (часто достаточно даже программы Excel).
Таким образом, в рамках виртуальной космологии проблема Эйлера считается строго доказанной вплоть до чисел порядка 10^18. И тут я напомню, что в виртуальной космологии числа порядка 10^20 «отождествляются» с характерным размером протона – одной из главных частиц в ядерной физике, ведь протон входит в состав ядра любого атома во Вселенной. «Отождествляются», поскольку: (10^20 эви) * (5,4*10^–44 секунды) = 10^–23 секунды – это так называемое ядерное время – за это время фотоны (света) проходят расстояние, равное характерному размеру протона. Иначе говоря, с точки зрения виртуальной космологии строго доказано, что на так называемом Малом отрезке [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, 10^18] любое чётное число большее 2 можно представить в виде суммы двух простых чисел (при этом каждое простое число может быть использовано больше одного раза). Например: 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 3 + 7 = 5 + 5; и так далее. И здесь, как вы уже, наверное, догадались, я не смог удержаться от своих очередных «крамольных» фантазий: чисто математическая проблема Эйлера (из мира натуральных чисел) «отражает» тот… физический (!) факт, что некие («чётные числа» у Эйлера) фундаментальные частицы в реальном мире (по типу барионов и мезонов?) – являются результатом «сложения» двух частиц (двух простых чисел у Эйлера) ещё более глубоко уровня (а самым предельным уровнем являются квантовые струны?, см. выше теорию струн)?
Аналогичным образом можно трактовать проблему Гольдбаха (для нечетных чисел) – это попробуйте сами проделать. Вероятно, самые изящные версии получились бы у физиков-профессионалов, однако, увы, они никак не хотят поверить, что мир натуральных чисел, в принципе, может(???) являться некой (очень слабой, расплывчатой, условной?) «тенью» (грубой моделью) математических законов реального пространства-времени. Кстати, проблемы Гольдбаха и Эйлера – это далеко не единственные примеры (поводы) для моей данной гипотезы, просто это примеры наиболее доступные и понятные «широкому кругу читателей».
Теорема Лагранжа также, вероятно, является ещё относительно доступным примером.
В классической теории чисел существует значительный раздел, а именно теория представления целых чисел N в виде сумм квадратов. Одно из самых красивых утверждений этой теории в 1772 году доказал Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) – французский математик, астроном и механик итальянского происхождения. Он, наряду с Эйлером, – лучший математик XVIII века. Особенно прославился исключительным мастерством в области обобщения и синтеза накопленного научного материала. Теорема Лагранжа утверждает, что любое натуральное число N – это сумма не более чем четырех квадратов:
N = X^2 + Y^2 + Z^2 + t^2 ,
где X, Y, Z, t – натуральные числа (возведенные в квадрат, то есть в степень 2).
В рамках виртуальной космологии можно фантазировать следующим образом: теорема Лагранжа говорит о… 4-х измерениях, доступных человеку в его повседневной жизни: X, Y, Z – это длина, ширина, высота (скажем, комнаты, в которой вы сейчас находитесь), а t – это время, которое, как нам кажется, вообще говоря, «плавно течет», хотя на самом деле это, вероятно, «поток»… дискретных квантов времени – планковских времен (эви – элементарных временных интервалов, см. выше).
Количество измерений, необходимых для описания Вселенной, физиками-теоретиками окончательно не определено. Теория струн, например, требовала наличия 10 (считая время), а теперь даже 11 измерений (в рамках М-теории). Предполагается, что дополнительные (ненаблюдаемые) 6 или 7 измерений свёрнуты (опять «магия» числа 7?) до планковских размеров, так что экспериментально они пока не могут быть обнаружены. Ожидается, тем не менее, что эти измерения каким-то образом проявляют себя в макроскопическом масштабе. В самом старом – бозонном – варианте теория струн требует 26-мерного объемлющего пространства-времени; предполагается, что "лишние" измерения этой теории также должны или могут (или есть надежда, что так) быть компактифицированы сперва до 10, сводясь таким образом к теории суперструн, а потом уже, как упомянуто здесь чуть выше, до 4 «обычных» измерений (доступных человеку в его ощущениях в «этой» жизни).
В моей книге «Теория суперструн и параллельные миры» (эта книга есть на сайте «Самиздат», как её найти – см. ниже) в главе III есть параграф 19 «Число – как сумма квадратов» (на стр. 109), в котором я исследую «тени» («отражения») разных измерений пространства-времени в мире натуральных чисел. В указанной книге приводятся и другие примеры «теней» («отражений») реального пространства-времени в мире натуральных чисел. Ещё более «изощренные» примеры (из теории струн) есть на сайте «Самиздат». Однако там, увы (какая «гадость»!), содержатся… формулы (кстати, в рамках средней школы), вот почему об этом – мне даже страшно упоминать в статьях для «широкого круга читателей».
А теперь мне хочется сказать ещё несколько слов в связи с… теоремой Шнирельмана. Напомню его теорему: любое чётное число представимо в виде суммы не более чем 300.000 простых чисел (при этом, насколько я понял, каждое простое число может быть использовано больше одного раза – иначе весь мой дальнейший текст потеряет смысл?). Кстати говоря, ранее (до Википедии) я читал про теорему Шнирельмана, в которой речь шла о… 800.000 простых чисел, однако теперь будем полагать, что всё-таки в теореме Шнирельмана говорится именно о 300.000 простых числах.
В рамках виртуальной космологии мне сразу пришла в голову такая мысль: а чему равна сумма первых 300.000 простых чисел (идущих подряд без пропусков). Вот мой ответ на данный вопрос (за абсолютную точность не ручаюсь, но в данном контексте это и не принципиально):
2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 +… + 4.253.609 = 613.729.661.033 или 6*10^11 – для грубых оценок.
Таким образом, сумма первых 300.000 простых чисел оказалась близкой к… и-триллиону (к моему «магическому» числу Tmax = 7*10^11), о котором подробно сказано во 2-й части (в ПОЯСНЕНИЯХ) моей статьи «И-триллион и гибель цивилизации». Напомню, что и-триллион (Tmax) – это максимально возможное количество целых делителей у натурального числа N в конце так называемого Большого отрезка [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, 8*10^60] «олицетворяющего» современную нам эпоху (то есть «сегодня») в биографии Вселенной. И, если быть максимально точным, то и-триллион равен Tmax = 669.522.458.643 (это результат моей линейной интерполяции в конце Большого отрезка и, возможно, у вас получится уточнить этот результат). Такому и-триллиону можно поставить в соответствие сумму первых 312.819 (а не 300.000 как выше) простых чисел:
2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 +… + 4.449.829 = 669.521.932.936 или 7*10^11 – для грубых оценок.
Короче говоря, в рамках виртуальной космологии (для любителей помечтать о прекрасном, гармоничном и… пустом?) можно предложить такую гипотезу: теорема Шнирельмана неким образом «связана» с и-триллионом, то есть с современной нам эпохой в биографии Вселенной (скажем, разумные существа появляются во Вселенной в определенный момент времени – как бы «по команде»… мира чисел).
А для математиков можно предложить следующую гипотезу: любое чётное число представимо в виде суммы не более чем 300.000 простых чисел, при этом каждое простое число может быть использовано НЕ больше одного раза и единицу принимаем за простое число. Последними (жирно выделенными) словами данная гипотеза отличается(?) от условий теоремы Шнирельмана.
Так о чем же говорит данная моя статья?
Прежде всего (и как всегда) о… красоте, гармонии и совершенстве МИРА ЧИСЕЛ!
***
Ряд моих статей есть в сообществе «Виртуальная космология» (на данном сайте).
Все мои статьи и книги легко найти (ссылка у многих читателей «не срабатывает»):
– в поисковике наберите «Самиздат» (сайт Мошкова),
– на «Самиздате» найдите автора: Исаев Александр Васильевич,
– начинайте читать с папки «Говоря предельно просто» (если вас «пугает» математика).
Ссылка на мой «Самиздат»: http://zhurnal.lib.ru/i/isaew_aleksandr_wasilxewich/