Добавление к статье "Разность квадратов нечётных чисел, пифагоровы тройки и доказательство гипотезы Била"

Дополнение к статье «Разность квадратов нечётных чисел, пифагоровы тройки и доказательство Гипотезы Била»

Данное дополнение вызвано недочётом, допущенным в статье при рассмотрении возможности целочисленных решений уравнения гипотезы Била A^x+B^y=C^z при нечётных показателях x,y,z, где доказательство, как и для случая чётного C^z, неполное, и в общем случае оно должно выглядеть следующим образом: если в уравнении (1) гипотезы Била чётное число невозможно выразить разностью квадратов нечётных чисел c нечётными показателями, составляющих уравнение, то оно не имеет целочисленных решений.
Нужно сказать, что доказательство этих случаев частично рассмотрены в статье «Чудесное» доказательство Великой теоремы Ферма» этого автора на сайте «Самиздат», размещённой 04. 06. 2023. (См.: «уравнение (12) …» и далее.)

Продолжим доказательство в «дополнении» с уравнения (19).
Рассмотрим уравнение (19) в следующем виде.
C^z-A^x=a_4^2-b_4^2. (20)
Из уравнения (20) при целочисленных полных квадратах a_4^2 и b_4^2 не следует, что соответствующие им числа C^z и A^x с нечётными показателями также являются квадратами целых чисел. Поэтому всё, рассмотренное выше, относится к уравнению теоремы Ферма 〖(X〗^n+Y^n=Z^n) и к уравнению гипотезы Била, если их нечётные числа имеют чётные показатели степени, а также нечётные показатели степени, являющиеся квадратами нечётных чисел.
Разложим на множители уравнение теоремы Ферма Z^n-X^n=Y^n с чётным показателем n, где Z,X - нечётные числа, а Y число чётное, аналогичное уравнению (3b).
Z^n-X^n=Y^n=(〖Z^(n/2))〗^2-(〖X^(n/2))〗^2=(Z^(n/2)+X^(n/2) )(Z^(n/2)-X^(n/2) )=(a_1^2-b_1^2 ). (21)
Рассмотрим уравнение (21) как самый наглядный пример доказательства. Здесь Z^n-X^n=a_1^2-b_1^2, или (〖Z^(n/2))〗^2-(X^(n/2) )^2=(a_1^2-b_1^2 ). Следовательно:
(Z^(n/2)+X^(n/2) )=2∙Y_1^n. (22) (Z^(n/2)-X^(n/2))=2^((n-1) )∙Y_2^n. (23)
Сложим левые и, отдельно, правые части уравнений (22) и (23).
2∙Z^(n/2)=2∙Y_1^n+2^((n-1) )∙Y_2^n, или Z^(n/2)=Y_1^n+2^((n-2))∙Y_2^n. (24)
Вычтем левую часть уравнения (23) из левой части уравнения (22), а правую часть уравнения (23) из правой части уравнения (22).
2∙X^(n/2)=2∙Y_1^n-2^((n-1) )∙Y_2^n, или X^(n/2)=Y_1^n-2^((n-2) )∙Y_2^n. (25)
Уравнение (24) нужно рассматривать как вариант формулы суммы n – х степеней, а уравнение (25) как вариант формулы разности n – х степеней.
Разложим на множители правую часть уравнения (24).
Z^(n/2)=a_1=(Y_1+2^(((n-2))/n)∙Y_2 )(Y_1^((n-1) )-…+2^((n-2)(n-1)/n)∙Y_2^((n-1) ) ). (26)
Разложим на множители правую часть уравнения 25).
X^(n/2)=b_1=(Y_1-2^(((n-2))/((n) ))∙Y_2 )(Y_1^((n-1) )+⋯+2^((n-2)(n-1)/n)∙Y_2^((n-1) ) ). (27)
Из уравнения (26) следует, что нечётное число Z^(n/2) и Z^n невозможно разложить на целочисленные множители, поскольку множители разложения a_1=Z^(n/2) и b_1=X^(n/2) теряют по одному числу 2, т. е. Y^n в процессе выделения нечётных чисел теряет число 2^2, поэтому Z^(n/2), Z^n не могут быть степенью целого числа. Это же относится и к нечётному числу X^(n/2) и X^n.
Из рассмотренного примера видно, что левая часть уравнения (20) не только равна правой, но абсолютно тождественна ей при указанных выше условиях, а именно: при всех чётных показателях нечётных чисел уравнения (1), коими нами приняты сумма C^z и одно из слагаемых B^y или A^x, как в данном случае, а также при показателях, являющихся квадратами нечётных чисел. То есть за исключением нечётных чисел с остальными нечётными показателями. При этом не отвергается равенство значений левой и правой части уравнения (20) и при нечётных показателях нечётных чисел, в данном случае C^z и A^x.
Запишем уравнение (19) в следующем виде.
B^y=a^2-b^2=(a+b)(a-b). (28)
B^y=C^z-A^x=(√(C^z )+√(A^x ))(√(C^z )-√(A^x )). (29)
Итак, если уравнение (28) выражает чётное число, имеющее множитель 8, разностью квадратов нечётных чисел, то уравнение (29) выражает это же число разностью нечётных чисел в нечётной степени, то есть произведением суммы и разности квадратных корней этих чисел. Между тем ни сумма, ни разность этих квадратных корней нечётных чисел в нечётной степени не могут быть целыми числами, т. е. обусловленными ранее чётными множителями чётного числа B^y. Кроме того, разность степеней (C^z-A^x) допускает только разложение на чётный и нечётный множители.
Отсюда следует; решение уравнения (1) с нечётными числами в нечётной степени в целых числах невозможно.
Рассмотрим уравнение (1) при чётном C^z.
Первый случай, где показатели всех трёх членов чётные, невозможен как сумма квадратов двух нечётных чисел не равная квадрату третьего числа.
Рассмотрим случай когда сумма уравнения (1) C^z число чётное, а числа A^x,B^y нечётные с нечётными показателями. Запишем уравнение следующим образом.
A^((2n_1+1))+B^((〖2n〗_2+1))=C^z=a^2-b^2. (30)
Из уравнения (30) видно, что при равенстве показателей чисел A и B левую часть уравнения можно разложить только на чётный и нечётный множители, а целочисленное разложение на два чётных множителя невозможно. При неравенстве показателей чисел A и B преобразование левой части уравнения (30) невозможно, поскольку числа не имеют и общего множителя, а значит невозможно представить её как произведение двух чётных чисел.
Вывод: уравнение A^x+B^y=C^z (1) гипотезы Била не имеет целочисленных решений при показателях x,y,z>2.
Следовательно, гипотеза Била доказана.
© С. И. Ведерников