Пифагоровы тройки, теорема Ферма, гипотеза Била и разность квадратов нечётных чисел.

УДК 512.1
Пифагоровы тройки, теорема Ферма, гипотеза Била
и разность квадратов нечётных чисел
Ведерников Сергей Иванович. Москва.
Аннотация. Цель работы – закрыть проблему целочисленных решений уравнения A^x+B^y=C^z при всех степенных показателях, как при показателях x, y, z, так и при показателях n > 3, а также при показателе n = 2, несмотря на то что любое упоминание о проблеме Ферма, либо гипотезе Била, исключает из рассмотрения случай n = 2. Для решения вопроса применена особенность выражения чётного числа, имеющего множитель 8, разностью квадратов двух нечётных чисел, обоснованное правило которой отсутствует даже в справочной литературе. В результате доказана гипотеза Била с учётом доказательства Великой теоремы Ферма простым методом.
Ключевые слова: разность квадратов двух нечётных чисел, разложение на множители, чётные числа, нечётные числа, пифагоровы тройки.
Начало формы

Pythagorean triples, Fermat's theorem, Beale's conjecture
and the difference of squares of odd numbers
Vedernikov Sergey. Moscow.
Annotation. The goal of the work is to solve the problem of integer solutions to the equation A^x+B^y=C^z for all power exponents, both for exponents x, y, z, and for exponents n > 3, as well as for exponent n = 2, despite to the fact that any mention of Fermat’s problem or Beale’s hypothesis excludes the case n = 2 from consideration. To solve the problem, the peculiarity of expressing an even number with a factor of 8 by the difference of the squares of two odd numbers is used, a substantiated rule for which is not even in the reference literature. As a result, Beale's conjecture was proved, taking into account the proof of Fermat's Last Theorem using a simple method.
Key words: difference of squares of two odd numbers, factorization, even numbers, odd numbers, Pythagorean triples.
Гипотеза Била.
Уравнение A^x+B^y=C^z (1) не имеет решений в натуральных числах и попарно взаимно простых целых числах A,B,C, если x, y, z≥3.
Теорема Ферма.
Уравнение X^n+Y^n=Z^n (2) не имеет решений в натуральных числах X,Y,Z,n и взаимно простых целых числах X,Y,Z при n≥3.
Доказательство.
Посыл. Примем за основу утверждение, что любое чётное число, имеющее множителем 2^n при n ≥ 3, можно выразить разностью квадратов двух нечётных чисел.
Чётное число при n≥3 содержит множителем число 8. Сумма и разность двух нечётных чисел числа чётные, но одно из них имеет множителем только одно число 2, а второе – минимум 2^2, а в общем случае 2^((n-1))∙k^n, где 2∙2^((n-1))=2^n при n > 2 есть множитель чётного числа, выраженного произведением этой суммы и этой разности. [1] Например:
(3+1)=4=2^2 и (3-1)=2∙1, а (3+1)(3-1)=3^2-1^2=2^3=8. (5+1)=6=2∙3; и (5-1)=4=2^2; (5+1)(5-1)=5^2-1^2= 2^3∙3.
Особое место при этом занимает уравнение X^2+Y^2=Z^2, где квадрат чётного числа пифагоровой тройки, имеющей множителем число 4, можно выразить числом, содержащим множитель 4^2=2^4. То есть случаи целочисленных решений уравнения〖 X〗^2+Y^2=Z^2 попадают под выше обозначенное условие о разложении разности квадратов двух нечётных чисел на произведение суммы и разности этих чисел. Нужно сказать, что формула X^2+Y^2=Z^2 для простейшей пифагоровой тройки должна выглядеть так: X^2+2^4∙Y_1^2=Z^2, подразумевая Y чётным числом, а именно: Y=2^2∙Y_1.
Рассмотрим тройку (5, 12, 13), где квадратное уравнение для неё при чётном Y^2=4^2∙Y_1^2=2^4∙Y_1^2=2^2∙2^2∙Y_1^2=2^2∙2^2∙3^2 такое:
Z^2-X^2=Y^2=2^2∙2^2∙3^2. (1а)
Рассмотрим порядок выделения множителей числа Y^n и целых чисел Z, X.
Имеем: X^2+Y^2 = Z^2 ↔5^2+〖12〗^2=〖13〗^2. Преобразуем данное выражение и разложим на множители.
Z^2-X^2=Y^2↔〖13〗^2-5^2=〖12〗^2. (2а)
Z+X=Y_1 ↔13+5=2∙3^2; (3а) Z - X=Y_2 ↔13-5= 2∙2^2. (4а)
Сложим левые части, отдельно, и правые, отдельно, ф. (3а) и ф. (4а).
2∙Z=Y_1+Y_2↔2∙3^2+2∙2^2=26, Z=(Y_1+Y_2)/2=3^2+2^2=13. (5а)
Вычтем левую часть ф. (4а) из левой части ф. (3а), а правую – из правой.
2∙X=Y_1-Y_2↔2∙3^2-2∙2^2=10, X=(Y_1-Y_2)/2=3^2-2^2=5. (6а)
Из рассмотренного выше нужно отметить несколько моментов. Первое, разложение на множители Y^2 соответствует «посылу». (См. (3а) и (4а)). Второе, нечётные числа Z и X являются половиной суммы множителей и половиной разности множителей числа Y. (См. (5а) и (6а)). Третье, Y^2 в уравнении (1а) имеет три квадратных множителя, один из которых исчезает в процессе выделения нечётных чисел, чем обеспечивается их целочисленное значение. (См. уравнения (5а) и (6а).) Четвёртое, нечётное число X можно разложить на множители как разность квадратов двух чисел. (См. (6а)).
Теорема Ферма.
Доказать: уравнение X^n+Y^n=Z^n (2) не имеет решений в целых числах.
Пусть Z > X > Y. Определимся с чётностью чисел X, Y и Z. То есть: два из этих чисел должны быть нечётными, а одно чётным. Пусть X и Z нечётные числа, а Y чётное число, поскольку особой разницы между числами X и Y нет.
Вариантов разложения чётного числа в степени n≥3 по формуле разности квадратов двух нечётных чисел может быть столько, сколько возможно сочетаний пар множителей числа, удовлетворяющих этому условию, однако для каждой пары возможен только один вариант такого разложения. И множители разложения не должны иметь общего делителя, кроме числа 2. То есть сопутствующие коэффициентам 2 и 2^((n-1)) множители должны быть в степени n при соблюдении условия о взаимно простых X, Y, Z. (Здесь надо заметить, что значения коэффициентов множителей разложения в разных случаях могут быть противоположными, что не меняет сути доказательства. См. «Например» выше.)
Выведем общую формулу разложения на множители чётного числа разностью квадратов двух нечётных чисел.
c^n=a^2-b^2=(a+b)(a-b)=(2∙c_1^n)∙〖(2〗^((n-1) )∙c_2^n). (3)
Здесь a и b нечётные числа, c^n - чётное число, n > 2. Примем:
a+b=2∙c_1^n ; (4) a-b=2^((n-1))∙c_2^n . (5)
Сложим левые, отдельно, и правые, отдельно, части уравнений (4) и (5).
2∙a=2∙c_1^n+2^((n-1))∙c_2^n , a=c_1^n+2^((n-2))∙c_2^n . (6)
Вычтем левую часть уравнения (5) из левой части уравнения (4), а правую часть уравнения (5) из правой части уравнения (4).
2∙b=2∙c_1^n-2^((n-1))∙c_2^n , b=c_1^n-2^((n-2))∙c_2^n . (7)
Итак, при выделении нечётных чисел a и b множители c^n (a+b) и (a-b) потеряли по одному числу 2. ( См. (6) и (7)). То есть чётное число уравнения (3) потеряло множитель 2^2.
В подтверждение произведём разложение на множители числа 〖12〗^3.
〖12〗^3=3^3∙4^3=3^3∙〖(2〗^3∙2^3)=(〖2∙3〗^3 )∙(2^2∙2^3 )=54∙32.
Здесь по ф. (3) (a+b)=(2∙3^3 ), (a-b)=(2^2∙2^3 ).
Согласно уравнениям (5а) и (6а) одно нечётное число равно половине суммы множителей чётного числа, а второе - половине разности множителей.
Согласно ф. (5а) a= (2∙3^3+2^2∙2^3)/2=2∙(3^3+2∙2^2)/2=3^3+2∙2^3=43.
Согласно ф. (6а) b= ((2∙3^3-2^2∙2^3 ))/2=2∙(3^3-2∙2^3)/2=3^3-2∙2^3=11.
〖 12〗^3=〖43〗^3-〖11〗^2=(43+11)(43-11)=54∙32.
При разложении на множители чётного числа и выделении нечётных чисел квадратного уравнения с пифагоровой тройкой чётное число теряет множитель 2^2, между тем как нечётные числа Z и X остаются целыми и выражены суммой и разностью полных квадратов (см. (5а) и (6а)). При разложении же на множители и выделении нечётных чисел уравнения (3) для n > 2 чётное число также теряет множитель 2^2, оставляя во втором множителе чётного числа остаток 2^((n-2)) (см. (6) и (7)). После чего множитель уже не является полной степенью n, а нечётные числа a и b нельзя разложить на целые множители.
Разложим на множители правую часть уравнения (6), рассматривая её как вариант суммы n – х степеней.
a=(c_1+2^(((n-2))/n)∙c_2)(c_1^((n-1) )-…+2^((n-2)(n-1)/n)∙c_2^((n-1) )). (8)
Разложим на множители правую часть уравнения (7) как вариант разности n – х степеней.
b=(c_1-2^(((n-2))/n)∙c_2)(c_1^((n-1) )+⋯+2^((n-2)(n-1)/n)∙c_2^((n-1) )). (9)
Из уравнений (8) и (9) следует, что разложение на множители нечётных чисел уравнения (3) a и b не есть целочисленное, а это значит, что они не могут быть степенью целого числа.
Как уже было условлено, чётным числом в уравнении (2) является Y. Имеются два случая, соответствующие чётному Y: это чётное n уравнения (2), нечётное n уравнения (2). Третий случай - чётное Z. Четвёртый случай – гипотеза Била. Выразим каждый из этих случаев соответствующей формулой.
Чётное n: Z^n-X^n=Y^n=(〖Z^(n/2))〗^2-(〖X^(n/2))〗^2=(a_1^2-b_1^2 ). (1b)
Нечётное n: Z^((2n+1))-X^((2n+1) )=Y^((2n+1) )=(a_2^2-b_2^2 ). (2b)
Чётное Z и нечётное n: X^((2n+1))+Y^((2n+1))=Z^((2n+1))=(a_3^2-b_3^2 ). (3b)
Нечётные C^z,A^x и чётное B^y: C^z-A^x=B^y=(a_4^2-b_4^2 ). (4b)
Случай с чётным n и чётным Z не имеет решений, как сумма двух квадратов нечётных чисел, не равных квадрату третьего числа.
Заметим: левые части уравнения (1b), (2b), (3b), (4b) - всего лишь чётные выражения значений Y^n - (1b), Y^((2n+1)) - (2b), Z^((2n+1)) - (3b), B^y - (4b), имеющих указанный способ разложения на множители. Поэтому в значениях формул (1b), (2b), (3b), (4b) левые их части равны правым.
Разложим уравнение (2) с чётным показателем n, где Z,X - нечётные числа, а Y число чётное. Т. е. уравнение (1b).
Z^n-X^n=Y^n=(〖Z^(n/2))〗^2-(〖X^(n/2))〗^2=(Z^(n/2)+X^(n/2) )(Z^(n/2)-X^(n/2) )=(a_1^2-b_1^2 ). (10)
Рассмотрим уравнение (10) как самый наглядный пример доказательства. Здесь Z^n-X^n=a_1^2-b_1^2, или (〖Z^(n/2))〗^2-(X^(n/2) )^2=(a_1^2-b_1^2 ). Следовательно:
(Z^(n/2)+X^(n/2) )=2∙Y_1^n. (11) (Z^(n/2)-X^(n/2))=2^((n-1) )∙Y_2^n. (12)
Сложим левые и, отдельно, правые части уравнений (11) и (12).
2∙Z^(n/2)=2∙Y_1^n+2^((n-1) )∙Y_2^n, или Z^(n/2)=Y_1^n+2^((n-2))∙Y_2^n. (13)
Вычтем левую часть уравнения (12) из левой части уравнения (11), а правую часть уравнения (12) из правой части уравнения (11).
2∙X^(n/2)=2∙Y_1^n-2^((n-1) )∙Y_2^n, или X^(n/2)=Y_1^n-2^((n-2) )∙Y_2^n. (14)
Уравнение (13) нужно рассматривать как вариант формулы суммы n – х степеней, а уравнение (14) как вариант формулы разности n – х степеней.
Разложим на множители правую часть уравнения (13).
Z^(n/2)=a_1=(Y_1+2^(((n-2))/n)∙Y_2 )(Y_1^((n-1) )-…+2^((n-2)(n-1)/n)∙Y_2^((n-1) ) ). (15)
Разложим на множители правую часть уравнения (14).
X^(n/2)=b_1=(Y_1-2^(((n-2))/((n) ))∙Y_2 )(Y_1^((n-1) )+⋯+2^((n-2)(n-1)/n)∙Y_2^((n-1) ) ). (16)
Из уравнения (15) следует, что нечётное число Z^(n/2) и Z^n невозможно разложить на целочисленные множители, поскольку множители разложения a_1=Z^(n/2) и b_1=X^(n/2) теряют по одному числу 2, т. е. Y^n в процессе выделения нечётных чисел теряет число 2^2, поэтому Z^(n/2), Z^n не могут быть степенью целого числа. Это же относится и к нечётному числу X^(n/2) и X^n. Тот же результат следует при разложении на множители уравнений (2b) и (3b), а также уравнения (4b).
Сравним уравнение (14) и уравнение (6а).
X^(n/2)=Y_1^n-2^((n-2) )∙Y_2^n. (14) X=3^2-2^2. (6a)
В разложении на множители X^(n/2) и X равноценны: X в уравнении (6а) как разность квадратов, и X^(n/2) в уравнении (14) как разность n – х степеней. Однако X в уравнении (6а) целое число и имеет целочисленное разложение на множители, но X^(n/2) в уравнении (14) целочисленного разложения на множители не имеет, что, в общем плане, относится к числам a^2 и b^2 уравнения (3).
Предположим, что для целочисленного решения уравнения (2), при чётном n >2, чётному Y^n нужно добавить множитель 2^2. А именно:
Z^n-X^n=2^2∙Y^n. (17)
Разложим на множители уравнение (17).
Z^(n/2)+X^(n/2)=2∙Y_5^n; (18) Z^(n/2)-X^(n/2)=2∙2^n∙Y_7^n=2∙Y_6^n. (19)
В уравнении (18) число Y_5^(n ) нечётное, а число Y_6^n=2^n∙Y_7^n чётное. Сложим левые, отдельно, и правые, отдельно, части формул (18) и (19).
2∙Z^(n/2)=2∙Y_5^n+2∙2^2∙Y_7^n . Z^(n/2)=Y_5^n+2^n∙Y_7^n=Y_5^n+Y_6^n . (20)
Вычтем из левой части ф. (18) левую часть ф. (19), а из правой части ф.(18) правую часть ф. (19).
2∙X^(n/2)=2∙Y_5^n-2∙2^n∙Y_7^n. X^(n/2)=Y_5^n-2^n∙Y_7^n=Y_5^n-Y_6^n. (21)
Разложим на множители уравнение (21).
X^(n/2)=(Y_5-Y_6 )(Y_5^((n-1) )+⋯+Y_6^((n-1) ) ). (22)
Очевидно, что уравнения (20) и (21) допускают целочисленные решения для Z^n, X^n в уравнении (17), где чётное число получило дополнительный множитель 2^2.
Вывод: уравнение A^x+B^y=C^z (1) гипотезы Била, а также уравнение X^n+Y^n=Z^n (2) теоремы Ферма, не имеют целочисленных решений.
Следовательно, теорема Ферма и гипотеза Била доказаны.
Список литературы.
1. Ведерников С. И. Разность квадратов нечётных чисел и гипотеза Била. М.: «Интернаука», научный журнал, 33 (303), сентябрь 2023. Часть 1. Стр. 22 – 23.
2. Серпинский В. Пифагоровы треугольники. М.: Учпедгиз, 1959.
3. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика, Справочные материалы. М.: Просвещение, 1990.
© Ведерников С. И., 2023